DIA 06 DE MAIO: DIA NACIONAL DA MATEMÁTICA

Comemoração quer mostrar como essa ciência não é nada chata e seu aprendizado pode ser divertido. A escolha do dia é uma homenagem ao escritor Malba Tahan, a primeira pessoa no país a tentar descomplicar a Matemática. A partir do dia 6 de maio deste ano, começa a ser comemorado no Brasil o Dia Nacional da Matemática. O objetivo dessa comemoração é divulgar a Matemática como área de conhecimento, sua história e suas aplicações no mundo, bem como sua ligação com outras áreas de conhecimento, buscando derrubar aquele velho mito de que aprender Matemática é difícil e apenas privilégio de poucos. O dia foi criado pela Sociedade Brasileira de Educação Matemática — a SBEM —, e a escolha dessa data é uma homenagem ao nascimento de Malba Tahan, pseudônimo de Júlio César de Mello e Souza. Tahan é autor de uma extensa obra, incluindo o livro O Homem que Calculava. Professor de Matemática e escritor muito criativo, ele adorava elaborar enigmas em sala de aula para iniciar suas explicações. O primeiro nome falso que ele adotou foi R. S. Slade para fingir que era um escritor de outro país e conseguir publicar uma história num jornal cujo editor já havia rejeitado seus contos quando ele os assinou com seu verdadeiro nome. Como a artimanha funcionou, ele decidiu usar sempre um nome estrangeiro. Mais tarde, escolheu Malba Tahan, pois adorava escrever histórias árabes. Ele nasceu no Rio de Janeiro em 1895 e morreu aos 79 anos, em 1974, no Recife. Foi um professor ousado para a época e gostava de ir muito além do ensino teórico e expositivo, do qual, aliás, foi um feroz crítico. “O professor de Matemática em geral é um sádico. Ele sente prazer em complicar tudo”, dizia. Também não dava notas “zero” nem reprovava seus alunos. “Por que dar zero se há tantos outros números?”. Já suas histórias eram sobre aventuras misteriosas, com beduínos, xeiques, vizires, magos, princesas e sultões. Em O Homem que Calculava, ele conta as aventuras de Beremis, um árabe que gostava de resolver os problemas da vida com soluções matemáticas. Os números e as propriedades numéricas eram, para ele, como seres vivos. Ele dizia que existem números alegres e bem-humorados, frações tristes, multiplicações carrancudas e tabuadas sonolentas. O Dia Nacional da Matemática, por enquanto, é apenas reconhecido pela SBEM, mas já existem iniciativas para incluir a data em calendários oficiais. E, além de propor a criação da data, a SBEM vai organizar e realizar eventos comemorativos. A cada ano, uma temática comum será proposta como eixo desses eventos, que poderão incluir a realização de atividades como feiras de Matemática abertas à comunidade, oficinas e palestras para professores, mostra de trabalhos de escolas, acampamentos de jovens para discussão de problemas matemáticos e apresentações teatrais.

A pluralidade cultural na sala de aula.

INTRODUÇÃO A pluralidade cultural é um tema que vem sendo estudado atualmente por várias áreas de conhecimento, visando a abordagem da diversidade e das várias manifestações culturais presentes na sociedade. O intercâmbio entre as várias culturas pode propiciar a troca e vivências sobre práticas, costumes, regras de conduta, formas de alimentação, artes, enfim, ampliar o repertório de conhecimentos entre municípios, estados e países. Em nosso país, possuímos uma cultura afro-brasileira que faz parte da nossa raiz histórica e que não pode ficar afastada do sistema educacional. Resgatar esta cultura significa valorizar e enriquecer o patrimônio cultural brasileiro trazendo à pauta aos nossos alunos toda construção coletiva historicamente criada pela humanidade, de uma forma contextualizada e centrada na criticidade. Em 2003 foi sancionada a Lei nº. 10.639, que alterou a Lei de Diretrizes e Bases (Lei nº. 9394/1996) e tornou obrigatório o ensino da História e Cultura Afro-Brasileira no ensino fundamental e médio. A inclusão deste tema no currículo escolar propicia a possibilidade de um trabalho integrado entre as diversas disciplinas que o compõe, enriquecendo e dando um maior significado à aprendizagem dos alunos, bem como, propiciando a abordagem do tema transversal conhecido por pluralidade cultural.

A LEI Nº 10.639 / 2003

A Lei nº 10.639/2003 alterou a Lei de Diretrizes e Bases (LDB - 9.394 / 1996), que estabelece as diretrizes e bases da educação nacional, para incluir no currículo oficial da rede de ensino a obrigatoriedade da temática "História e Cultura Afro-Brasileira" e dá outras providências, como incluir o dia 20 de novembro como "Dia Nacional da Consciência Negra"; prevê expressamente no caput do artigo 26-A que, " Nos estabelecimentos de ensino fundamental e médio, oficiais e particulares, torna-se obrigatório o ensino sobre História e Cultura Afro-Brasileira.". O parágrafo primeiro afirma que: "O conteúdo programático a que se refere o caput deste artigo incluirá o estudo da História da África e dos Africanos, a luta dos negros no Brasil, a cultura negra brasileira e o negro na formação da sociedade nacional, resgatando a contribuição do povo negro nas áreas social, econômica e política, pertinentes à História do Brasil". No segundo parágrafo consta que: "Os conteúdos referentes à História e Cultura Afro-Brasileira serão ministrados no âmbito de todo o currículo escolar, em especial nas áreas de Educação Artística e de Literatura e História Brasileiras".

PROFESSORES INESQUECÍVEIS!!!

MENSAGEM: EDUCAR, UM ATO DE AMOR!

Ser professor é mais do que ser um profissional da educação. É transpor as barreiras das indiferenças. É poder dividir o que você tem de melhor com o próximo. É ensinar e aprender ao mesmo tempo. Ser professor é aconselhar a criança, o jovem e o adulto. Todos nós temos um pouco de "professor". Todos ensinam algo e aprendem algo. Ser professor é trabalhar com o melhor material que existe: O ser humano!

ETNOMATEMÁTICA: O QUE É?

Etnomatemática Bantumi o Kalaha, um jogo africano objecto de um estudo etnomatemático. A etnomatemática surgiu na década de 70, com base em críticas sociais acerca do ensino tradicional da matemática, como a análise das práticas matemáticas em seus diferentes contextos culturais. Mais adiante, o conceito passou a designar as diferenças culturais nas diferentes formas de conhecimento. Pode ser entendida como um programa interdisciplinar que engloba as ciências da cognição, da epistemologia, da história, da sociologia e da difusão. A palavra foi cunhada da junção dos termos techné, mátema e etno. Segundo Ubiratan D'Ambrósio o Programa Etnomatemática "tem seu comportamento alimentado pela aquisição de conhecimento, de fazer(es) e de saber(es) que lhes permitam sobreviver e transcender, através de maneiras, de modos, de técnicas, de artes (techné ou 'ticas') de explicar, de conhecer, de entender, de lidar com, de conviver com (mátema) a realidade natural e sociocultural (etno) na qual ele, homem, está inserido." Tomando o campo da matemática como exemplo, numa perspectiva etnomatemática, o ensino deste ganha contornos e estratégias específicas, peculiares ao campo perceptual dos sujeitos aos quais se dirige. A matemática vivenciada pelos meninos em situação de rua, a matemática desenvolvida em classes do ensino supletivo, a geometria na cultura indígena, são completamente distintas entre si em função do contexto cultural e social na qual estão inseridas.

Para saber mais confira: http://www.ufrrj.br/leptrans/arquivos/etno.pdf

Concepções dos Professores de Matemática e Processos de Formação

Por João Pedro da Ponte, Universidade de Lisboa

O interesse pelo estudo das concepções dos professores, tal como aliás pelo estudo das concepções de outros profissionais e de outros grupos humanos, baseia-se no pressuposto de que existe um substracto conceptual que joga um papel determinante no pensamento e na ação. Este substrato é de uma natureza diferente dos conceitos específicos – não diz respeito a objectos ou acções bem determinadas, mas antes constitui uma forma de os organizar, de ver o mundo, de pensar. Não se reduz aos aspectos mais imediatamente observáveis do comportamento e não se revela com facilidade – nem aos outros nem a nós mesmos. As concepções têm uma natureza essencialmente cognitiva. Atuam como uma espécie de filtro. Por um lado, são indispensáveis pois estruturam o sentido que damos às coisas. Por outro lado, actuam como elemento bloqueador em relação a novas realidades ou a certos problemas, limitando as nossas possibilidades de actuação e compreensão. As concepções formam-se num processo simultaneamente individual (como resultado da elaboração sobre a nossa experiência) e social (como resultado do confronto das nossas elaborações com as dos outros). Assim, as nossas concepções sobre a Matemática são influenciadas pelas experiências que nos habituámos a reconhecer como tal e também pelas representações sociais dominantes. A Matemática é um assunto acerca do qual é difícil não ter concepções. É uma ciência muito antiga, que faz parte do conjunto das matérias escolares desde há séculos, é ensinada com carácter obrigatório durante largos anos de escolaridade e tem sido chamada a um importante papel de selecção social. Possui, por tudo isso, uma imagem forte, suscitando medos e admirações. A Matemática é geralmente tida como uma disciplina extremamente difícil, que lida com objectos e teorias fortemente abstractas, mais ou menos incompreensíveis. Para alguns salienta-se o seu aspecto mecânico, inevitavelmente associado ao cálculo. É uma ciência usualmente vista como atraindo pessoas com o seu quê de especial. Em todos estes aspectos poderá existir uma parte de verdade, mas o facto é que em conjunto eles representam uma grosseira simplificação, cujos efeitos se projectam de forma intensa (e muito negativa) no processo de ensino-aprendizagem. Os professores de Matemática são os responsáveis pela organização das experiências de aprendizagem dos alunos. Estão, pois, num lugar chave para influenciar as suas concepções. Como veem eles próprios a Matemática e o modo como se aprende Matemática? Qual a relação entre as suas concepções e as dos seus alunos? Que sentido faz falar de concepções, distinguindo-as de outros elementos do conhecimento, como por exemplo, das crenças? Qual a relação entre as concepções e as práticas? Qual a dinâmica das concepções, ou seja, como é que estas se formam e como é que mudam? Qual o papel que nestas mudanças podem ter os processos de formação? O matemático, por cada momento de criatividade tem muitos momentos de trabalho rotineiro e de árduo estudo. Além disso, trabalha com ideias sofisticadas e tem ao seu alcance formidáveis recursos que derivam do seu conhecimento de domínios mais ou menos vastos e de uma grande experiência anterior. Não é possível transpor estas condições para um aluno colocado perante uma tarefa necessariamente elementar e dispondo de recursos forçosamente limitados. Finalmente, quando se evoca esta metáfora, nem sempre se sublinha o grande esforço que os matemáticos fazem para a compreensão dos conceitos e resultados já existentes e a sua grande capacidade de concentração e de resistência à frustração, elementos indispensáveis à sua sobrevivência profissional. Gostaria de propor uma nova metáfora. Trata-se da metáfora do engenheiro. Ou seja, da pessoa que colocada perante uma situação concreta procura lançar a mão dos diferentes métodos e abordagens ao seu alcance, eventualmente modificando-os e combinando-os, de modo a construir uma solução satisfatória. Comparar a Matemática dos matemáticos com a dos engenheiros é certamente uma proposta arriscada. Os matemáticos valorizam de forma determinante o rigor e a consistência e não suportam os expedientes e o carácter por vezes mal justificado dos métodos a que é preciso recorrer se se quer encontrar soluções para problemas práticos. Dizer de alguém que a sua concepção de Matemática é a de um engenheiro tem sido um dos insultos mais cultivados pela elite dos professores — o que bem atesta o domínio absoluto que a Matemática Pura tem exercido sobre o campo do ensino. No entanto, hoje em dia, a tendência é cada vez mais para ver a Matemática como um todo, considerando artificiosa e limitativa a distinção entre Matemática Pura e Matemática Aplicada (NCR, 1989), uma vez que as mesmas teorias podem ser vistas como "puras" ou "aplicadas", dependendo apenas da óptica com que são encaradas. É cada vez mais reconhecida a importância da capacidade de lidar com as estruturas e regularidades matemáticas mas também da capacidade da as aplicar a situações exteriores à Matemática. Desta forma, poderá esperar-se alguma aceitação para esta metáfora, que valoriza a capacidade dos alunos formularem situações em termos matemáticos (matematização) e aplicarem conceitos já seus conhecidos à resolução de problemas concretos, incluindo naturalmente a construção de modelos matemáticos (modelação).

Relato de Experiência - A utilização da resolução de problemas nas aulas de matemática

Por: Clenilton Mota Brito de Souza – Curso de pós-graduação/Matemática

O referido relato constitui basicamente da aplicação de uma atividade subjetiva contendo 5 questões com situações do cotidiano do aluno, sendo que a última era para o educando elaborar uma situação-problema relacionada à sua realidade, pois queríamos analisar como o estudante reagiria com textos dentro das questões aritméticas, sendo que muitos alunos não assimilam a matemática com a interpretação de textos. Muitos acham que matemática é somente números e a análise textual só faz parte de Português. Essa concepção que muitos têm em relação à matemática nos levou a elaborar questões envolventes e contextualizantes. Não queríamos aplicar questões no quadro e nem dentro da sala de aula, queríamos que eles interagissem com seus colegas e que aquela atividade não se tornasse uma atividade a mais. Segundo Beatriz D’Ambrosio as aulas de matemática na maioria das vezes são aulas mecânicas e expositivas em que o professor utiliza exclusivamente a lousa e explana os conteúdos. Isso torna o aluno um agente passivo do seu próprio conhecimento e os cálculos por ele solucionados são apenas passos repetitivos sem conexão com a realidade em que vive. Ela continua frisando que o pensamento de muitos professores no que tange a resolução de problemas é meramente uma produção do professor. É empolgante aplicar atividades desafiadoras e divertidas, isso faz com que o professor busque inovar a sua prática pedagógica. Aluno e professor só têm a ganhar com isso, pois ambos crescem com as experiências. Para o aluno crescerá a sua auto-estima na busca de solucionar questões relacionadas ao seu cotidiano. É freqüente ouvirmos nas salas de aula muitos alunos questionarem: “Onde irei usar isso em minha vida?”. É fundamental que o educador de matemática esteja engajado na busca de se aperfeiçoar e aprender novas estratégias na resolução de problemas. Infelizmente, nos dias de hoje, os alunos assimilam a matemática como um mar de fórmulas e regras para serem decorados com objetivos de resolver a prova. Essa visão distorcida do que vem a ser a matemática para o aluno faz com que ele se desanime na busca de solucionar questões propostas em sala, pois segundo Beatriz, a supervalorização e a crença do poder absoluto da matemática que o aluno tem em relação à disciplina fazem com que ele não tenha atitudes críticas e reflexivas. Consequentemente ele se desanima na busca da solução, pois essa matemática não está próxima da usa realidade, por isso é costumeiro o educando desistir já de inicio nas atividades. O aluno deve ser o protagonista do seu conhecimento, no momento que nós, professores, dermos oportunidade para que os educandos liberem a criatividade que há em cada um deles produzindo questões vivas e atraentes, as aulas de matemática se tornarão mais significativas. Eles deixarão de ver a matemática como um bicho papão e terão mais gosto por essa disciplina. Quando aplicamos a atividade fomos percebendo o desejo dos alunos em resolver as questões. No final da atividade perguntamos para os alunos quais as questões que eles acharam difíceis de resolver e quais foram as mais fáceis. É importante que o professor pergunte para a classe quais são as dificuldades que eles estão encontrando no decorrer da situação-problema, isso faz com que o educador melhor direcione o seu planejamento e veja onde precisa focar mais na hora de explanar o conteúdo. Esse laço estreito entre aluno/professor enriquece mais o gosto pela matemática, pois o aluno não verá o professor como alguém que é o dono do conhecimento e que não pode descer do seu pedestal, mas pelo contrário, o professor que dá abertura para ouvir os questionamentos dos alunos. É preciso que os educadores de matemática tenham uma atitude flexível ao entrar na sala de aula. Como o professor de matemática vê a matemática? A sua prática pedagógica realmente é condizente com a sua fala? Questões como essas devem permear as mentes de todos os educadores de matemática em nosso país. Mas, infelizmente, o professor atualmente não vê por esse ângulo. Muitos acham que ensinar matemática se reduz a solução de cálculos e mais cálculos e, quando um aluno pergunta por que está estudando tal conta, a maioria responde que resolver bateria de exercícios faz com que aprenda melhor e mais rápido. Isso é uma atitude duvidosa, será mesmo que o aluno aprende melhor através da repetição de contas? Acredito que não! Ao lançarmos questões relacionadas à vida cotidiana dos alunos nós percebemos o prazer que eles tiveram em solucionar os exercícios e principalmente as múltiplas formas de se chegar a resposta. Ficamos supressos ao ouvir um aluno dizer que gostou muito de uma questão em que o tema “amizade” estava inserido na atividade. Nessa questão o personagem chamava-se Gugu e ele tinha 5 amigos. Eles eram super amigos e gostavam de jogar vídeo game. O aluno disse que ao resolver essa questão se identificou com Gugu. É preciso que nós, professores, não se preocupemos com a quantidade de conteúdos que devemos ensinar, mas devemos deforma harmoniosa ensinar o aluno a aprender e apreender aquilo que se está passando na sala de aula. Conforme lido no texto de Beatriz em que ela afirma que uma grande parte dos professores se preocupa com a quantidade dos conteúdos a serem ensinado e não com a qualidade. Para muitos educadores é mais importante a ação pedagógica do que a aprendizagem do aluno. Isso constrói uma aprendizagem deficiente e produz alunos viciosos e dependentes da ação do professor. A aula de matemática fica restrita ao quadro e a voz ativa do professor. O aluno não vivencia experiências e situações de investigações e de descobrimento. Essa atitude faz com que muitos alunos sintam repugnância pela matemática em si. A resolução de problemas quando bem direcionada faz com que o aluno aflore essas competências importantíssimas para viver em um mundo de constantes desafios em que, as habilidades de buscar soluções práticas, a socialização e a auto-reflexão são imprescindíveis para a formação de um cidadão. Quando pedimos para que os alunos levassem a atividade para casa e resolvessem juntamente com seus pais e colegas de classe e, depois trouxessem as dúvidas para serem debatidos em classe, isso fez com que as questões não se tornassem uma pedra no caminho deles, mas pelo contrário, o desejo de integração e companheirismo entre eles foi maior. A busca de encontrar soluções em conjunto faz com que o aluno assimile facilmente os conteúdos matemáticos. E os erros por eles encontrados fazem com que o ensino seja mais significante, pois os erros na matemática é uma forma de aprender e de direcionar a ação como o professor esta direcionando um determinado conteúdo, segundo Beatriz o professor de matemática pode compreender as interpretações dos alunos em uma determinada questão através dos erros por eles cometidos. Isso que dizer que os estudos dos erros na matemática não devem ser vistos como uma forma de punição por não ter encontrado a resposta exigida, mas pelo contrário, deve ser um ato de constante debate e de reformulação das questões nele abordados. Na atividade aplicada analisamos que cada aluno tinha uma forma particular de encontrar a resposta de cada situação-problema. Não desprezamos os erros que alguns alunos cometeram, mesmo sendo uma minoria. Levamos os erros para serem debatidos com os demais colegas tendo o cuidado de não pronunciar nomes dos que cometeram tais erros, para não constranger alguns alunos e para que todos tivessem um ambiente democrático e reflexivo nas aulas de matemática. Foi superinteressante perceber que os alunos davam opiniões diversas sobre tais erros, alguns ficavam eufóricos para resolver e ir ao quadro para mostrar aos outros colegas como encontrou a resposta. Essa abertura que demos aos alunos nos mostrou que é importante ouvirmos o que o aluno pensa e acha da matemática. A aplicação de resoluções de problemas e o debate democrático da matemática na sala fazem com que as aulas se tornem mais prazerosas e o conhecimento mais concreto na vida dos alunos. Quando o professor de matemática faz essa abertura para que o aluno tenha voz para questionar e mostrar o que pensa sobre a matemática o ensino dessa disciplina deixará de ser um bicho papão e se tornará uma matéria em que à maioria dos alunos terão desejo de estudar, pesquisar e descobrir. O primeiro passo está na forma como o educador lança os problemas matemáticos para a classe. É preciso que cada profissional da educação na área da matemática se torne um eterno pesquisador. Ganha o aluno, ganha o professor, ganha a educação.

O Professor e o Computador

Até os dias de hoje a Revolução Industrial ocorrida no final do século XVIII é considerada uma das mais significativas. Todavia, grandes transformações são geralmente acompanhadas de muitos temores. O medo do novo aparece sempre nas previsões pessimistas. Acredito não haver dúvidas de que estamos vivendo um novo momento de profundas mudanças. Na década de 1990, nos lares da classe média brasileira, surge o computador pessoal. E, a partir de 1995, popularizou-se no Brasil o uso da Internet, a rede mundial de computadores que é considerada por muitos uma fonte de transformações. As crianças e adolescentes demonstram grande facilidade para lidar com o computador e com a Internet. Isso talvez ocorra por conta de terem tido contato, desde muito cedo, com a tecnologia digital. Geralmente começam a usar computadores com apenas cinco anos de idade. Estas novas tecnologias passam a ser tratadas como algo natural para elas. Computadores não as assustam como acontece com as pessoas mais velhas. Já os pais e educadores de hoje quase sempre não tiveram a oportunidade de vivenciar ambientes computacionais e refletem certo temor sobre o tema. Esta semana tive oportunidade de presenciar uma situação desse tipo ouvindo um professor declarar, de forma pungente, sua aversão aos computadores. Disse ele: ¨O meu só serve para digitar as provas¨. Acredito que estamos com um sério problema de despreparo profissional que começa no ensino básico e vai até o universitário. Os alunos ficam numa situação difícil. Precisam conviver com três tipos de mestres. Professor Tipo 1: Antenado – Procura enviar e receber apontamentos pela rede. Esses professores podem ser jovens ou mais experientes, são atualíssimos. Lembrei-me, ao escrever este artigo, do Prof. Alexandre Aquino, que enviava para mim as orientações de monografia por arquivo de voz mp3. Parabéns! Um abraço! Professor Tipo 2: Trivial necessário – Produz as provas no computador e envia as notas quando a Escola ou Universidade tem sistema próprio. Professor Tipo 3: Anti-tecnológico - Este detesta até quem gosta de computador. Escreve as provas no quadro e os alunos as entregam em folha de caderno como no Séc. XIX. Imagine você, caro leitor, quantos paradigmas precisam ser triturados. Por um lado os jovens que convivem e aceitam os avanços naturalmente. Por outro lado os resistentes que tentam ir contra a onda tecnológica. Lembrei-me, também, de um advogado que não se desprendeu de sua máquina de escrever Olivetti. Estava ele redigindo uma petição e no final da página errou o nome do cliente. Teve de datilografar toda a lauda novamente. Ainda bem que para escrever este pequeno artigo posso levar os parágrafos para cima, para baixo, trocar as palavras e o melhor, quando erro, aparece um risco vermelho debaixo da palavra digitada errada. Como alguém pode não gostar de computador? Temos que nos lembrar de que educar é algo mais que fixar conteúdos sem significados; educar é contribuir para a formação de cidadãos felizes que consigam viver em harmonia, que saibam trabalhar em equipe, que respeitem as diferenças, que evoluem, que ousem e criem. Por isso é preciso usar as ferramentas tecnológicas disponíveis e não seguir na contra mão fugindo das mesmas. Postas essas questões, fica a indagação: como podemos fomentar inclusão digital com toda esta desarmonia. Nos locais mais distantes e pobres onde a inclusão é mais necessária é que se encontram mais professores anti-tecnológicos. Como criar uma cultura de inclusão se o difusor de conhecimento não o tem para si? E não pense que esses profissionais de mal com a tecnologia estão apenas nas escolas básicas de periferia. Eles podem estar em instituições que cobram caro pelo trivial. Chega de PF (prato feito). Nós, brasileiros, precisamos cobrar mais eficiência das instituições públicas, como também das instituições privadas. Se você vende pastel e seu pastel é ruim ninguém compra. Logo se você estuda numa escola e o professor ou a escola é ruim você pode reclamar. Você paga por isso em impostos ou mensalidades, portanto, todos têm direito a modernidade e eficiência. O Brasil está mudando, cada dia que passa tem menos brasileiro bobo. Srs. Pais, Alunos, Mestres, Autoridades educacionais, este ciclo tem de parar: o Professor finge que ensina, o aluno acha que sabe e a escola forma uma legião de pessoas de futuro incerto. E depois, na vida real, como fica? Publicado no Jornal Tribuna do Paraopeba em Agosto de 2007. Po Luiz Giovanni de Almeida

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A Álgebra da Escola Básica

O que é a álgebra da escola básica? A álgebra da escola básica se relaciona à compreensão do significado das “letras” (comumente chamadas atualmente de variáveis) e das operações com elas, e consideramos que os alunos estão estudando álgebra quando encontram variáveis pela primeira vez. Porém, como o próprio conceito de variável é multifacetado, a redução da álgebra ao estudo das variáveis não responde à pergunta: “o que é a álgebra da escola básica”?

De fato, consideremos as seguintes equações, todas elas com a mesma forma (o produto de dois números é igual a um terceiro): 1) A = b. h 2) 40 = 50 x 3) sen x = cos x. tg x 4) 1 = n. (1/n) 5) y = kx Cada uma delas tem um caráter diferente. Comumente chamamos 1) de fórmula, 2) de equação, 3) de identidade, 4 de propriedade e 5) de expressão de uma função que traduz uma proporcionalidade direta e não é para ser resolvida. Esses diversos nomes refletem os diferentes usos dados à idéia de variável. Percebemos que as letras representam papéis diferentes em cada caso Em 1), A, b e h representam a área, a base e a altura de um retângulo ou paralelogramo e têm o caráter de uma coisa conhecida. Em 2), tendemos a pensar em x como uma incógnita. Em 3), x é o que denominamos o argumento de uma função. A equação 4), ao contrário das outras, generaliza um modelo aritmético (o produto de um número por seu inverso é 1), e n indica um exemplo do modelo. Em 5), x é mais uma vez o argumento de uma função, y o valor da função e k uma constante ou parâmetro, dependendo de como a letra é usada.

Concepção 1: a álgebra como aritmética generalizada

Nesta concepção, é natural pensar as variáveis como generalizadoras de modelos. Por exemplo, generaliza-se uma igualdade como 3 + 5 = 5 + 3, na qual a ordem das parcelas não altera a soma, escrevendo-se a + b = b + a. Outros exemplos são: 1) os números pares positivos, 2 = 2. 1, 4 = 2. 2, 6 = 2. 3, 8 = 2. 4, podem ser representados por 2. n, ou 2n, onde consideramos que n representa qualquer número inteiro positivo; 2) expressamos a proposição aritmética que diz que o produto de qualquer número por zero é zero escrevendo x. 0 = 0, para todo x (a letra x representa um número genérico qualquer, não assumindo o significado de incógnita nem de variável). Nessa concepção de álgebra como aritmética generalizada, as ações importantes para o estudante da escola básica são as de traduzir e generalizar.

Concepção 2: a álgebra como estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas

Consideremos o seguinte problema: adicionando 3 ao quíntuplo de um certo número, a soma é 43. Achar o número. O problema é traduzido para a linguagem da álgebra da seguinte maneira: 5x + 3 = 43. Essa equação é o resultado da tradução da situação do problema para a linguagem algébrica, e ao fazer isso, trabalhamos segundo a Concepção 1. Na concepção de álgebra como estudo de procedimentos, temos que continuar o trabalho resolvendo a equação. Por exemplo, se somarmos – 3 a ambos os membros da equação, teremos:

5x + 3 + (-3) = 43 + (- 3). Simplificando, obtemos: 5x = 40, e encontramos x = 8. Assim, o “certo número” do problema é 8, e facilmente se testa esse resultado, calculando 5. 8 + 3 = 43. Ao resolver problemas desse tipo, muitos alunos têm dificuldade na passagem da aritmética para a álgebra. Enquanto a resolução aritmética (“de cabeça”) consiste em subtrair 3 de 43 e dividir o resultado por 5, a forma algébrica 5x + 3 envolve a multiplicação por 5 e a adição de 3, que são as operações inversas da subtração 43 – 3 e da divisão 40: 5. Isto é, para armar a equação, devemos raciocinar exatamente de maneira oposta à que empregaríamos para resolver o problema aritmeticamente. Nesta segunda concepção de álgebra, as variáveis são ou incógnitas ou constantes. Enquanto as instruções-chave no uso de uma variável como generalizadora de modelos são traduzir e generalizar, na concepção da álgebra como um estudo de procedimentos para resolver problemas, as instruções-chave são simplificar e resolver. O aluno, nessa concepção, precisa dominar não apenas a capacidade de equacionar os problemas (isto é, traduzi-los para a linguagem algébrica em equações), como também precisa ter habilidades em manejar matematicamente essas equações até obter a solução. A letra aparece não como algo que varia, mas como uma incógnita, isto é, um valor a ser encontrado.

Concepção 3: a álgebra como estudo de relações entre grandezas

Quando escrevemos a fórmula da área de um retângulo, A = b. h, estamos expressando uma relação entre três grandezas. Não se tem a sensação de se estar lidando com uma incógnita, pois não estamos resolvendo nada. Fórmulas como essa transmitem uma sensação diferente de generalizações como 1 = n. (1/n), mesmo que se possa pensar numa fórmula como um tipo especial de generalização. Considerando que a concepção de álgebra como estudo de relações entre grandezas pode começar com fórmulas, a distinção crucial entre esta concepção e a anterior é que, nela, as variáveis realmente variam. Que há uma diferença fundamental entre estas duas concepções fica evidente pela resposta que os alunos geralmente dão à seguinte pergunta: o que ocorre com o valor de 1/x quando x se torna cada vez maior? A questão parece simples, mas é suficiente para confundir os alunos. Não pedimos o valor de x, portanto x não é uma incógnita. Também não estamos pedindo ao aluno que traduza. Há um modelo a ser generalizado, mas não se trata de um modelo que se pareça com a aritmética (não teria sentido perguntar o que aconteceria com o valor de ½ quando 2 se torna cada vez maior). Trata-se de um modelo fundamentalmente algébrico. Dentro desta terceira concepção, a álgebra se ocupa de modelos e leis funcionais que descrevem ou representam as relações entre duas ou mais grandezas variáveis. Uma variável é um argumento (isto é, representa os valores do domínio de uma função) ou um parâmetro (isto é, um número do qual dependem outros números). O fato de variáveis e argumentos diferirem de variáveis e incógnitas se evidencia na questão: achar a equação da reta que passa pelo ponto (6, 2) e tem inclinação 11. Uma forma habitual de resolver esse problema combina todas as utilizações das variáveis apresentadas até aqui. Costuma-se começar a partir do fato conhecido de que os pontos de uma reta estão relacionados por uma equação do tipo y = mx + b. Temos aqui tanto um modelo entre variáveis como uma fórmula. Embora, para o professor, x e y sejam encarados como variáveis e m represente um parâmetro (quando m varia, obtemos todas as retas do plano não-verticais), para o aluno pode não ficar claro se o argumento é m, x ou b. Pode parecer que todas as letras sejam incógnitas (particularmente x e y, letras consagradas pela tradição para representar incógnitas). Vejamos a resolução. Como conhecemos m (representa a inclinação da reta), substituímos essa letra pelo seu valor, obtendo y = 11x + b. Vemos, então, que, no caso específico do problema, m é uma constante, não um parâmetro. Agora precisamos achar b, de modo que b não é um parâmetro, e sim uma incógnita. Como achar b? Usamos um par entre os muitos pares de valores associados x e y. Isto é, escolhemos um valor do argumento x para o qual conhecemos o valor associado de y. Podemos fazer isso em y = mx + b porque essa relação descreve um modelo geral entre números. Com a substituição, 2 = 11. 6 + b, e, portanto, o valor de b é – 64. Mas não achamos x e y, embora tenhamos dado valores para eles, porque não eram incógnitas. Achamos apenas a incógnita b e substituímos seu valor na equação modelo, obtendo finalmente a resposta do problema: y = 11x – 64. Concepção 4: a álgebra como estudo das estruturas No curso superior de Matemática, o estudo de álgebra envolve estruturas como grupos, anéis, domínios de integridade, corpos e espaços vetoriais. Isso parece ter pouca semelhança com a álgebra da escola básica, embora sejam essas estruturas que fundamentam a resolução de equações nesse nível de ensino. Contudo, podemos reconhecer a álgebra como estudo das estruturas na escola básica pelas propriedades que atribuímos às operações com números reais e polinômios. Consideremos os seguintes problemas: 1) determine (a + x) (b – 1); 2) fatorar a expressão ax + ay – bx – xy. A concepção de variável, nesses dois exemplos, não coincide com nenhuma daquelas discutidas anteriormente. Não se trata de nenhuma função ou relação, ou seja, a variável não é um argumento, como na concepção 3. Não há qualquer equação a ser resolvida, de modo que a variável não atua como uma incógnita, como na concepção 2. Do mesmo modo, não estamos dentro da concepção 1, já que não há qualquer modelo aritmético a ser generalizado. Olhemos para as respostas dos problemas: 1) ab – a + bx – x; 2) (a - b) (x + y). Nos dois problemas, as variáveis são tratadas como sinais no papel, sem qualquer referência numérica. O que caracteriza a variável na concepção da álgebra como estudo de estruturas é o fato de ser pouco mais do que um símbolo arbitrário. Observe-se que as atividades conhecidas como de cálculo algébrico, que são muito freqüentes no currículo usual da escola básica (produtos notáveis, fatoração, operações com monômios e polinômios) situam-se no âmbito da concepção 4.

Texto adaptado de USISKIN, Zalman. Concepções sobre a álgebra da escola média e utilizações das variáveis. In: COXFORD, Arthur F.; SHULTE, Alberto P.(Org). As idéias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995.

http://www.mat.ufmg.br/~espec/meb/files/Algebra_e_variaveis.doc