PROFESSORES INESQUECÍVEIS!!!

MENSAGEM: EDUCAR, UM ATO DE AMOR!

Ser professor é mais do que ser um profissional da educação. É transpor as barreiras das indiferenças. É poder dividir o que você tem de melhor com o próximo. É ensinar e aprender ao mesmo tempo. Ser professor é aconselhar a criança, o jovem e o adulto. Todos nós temos um pouco de "professor". Todos ensinam algo e aprendem algo. Ser professor é trabalhar com o melhor material que existe: O ser humano!

ETNOMATEMÁTICA: O QUE É?

Etnomatemática Bantumi o Kalaha, um jogo africano objecto de um estudo etnomatemático. A etnomatemática surgiu na década de 70, com base em críticas sociais acerca do ensino tradicional da matemática, como a análise das práticas matemáticas em seus diferentes contextos culturais. Mais adiante, o conceito passou a designar as diferenças culturais nas diferentes formas de conhecimento. Pode ser entendida como um programa interdisciplinar que engloba as ciências da cognição, da epistemologia, da história, da sociologia e da difusão. A palavra foi cunhada da junção dos termos techné, mátema e etno. Segundo Ubiratan D'Ambrósio o Programa Etnomatemática "tem seu comportamento alimentado pela aquisição de conhecimento, de fazer(es) e de saber(es) que lhes permitam sobreviver e transcender, através de maneiras, de modos, de técnicas, de artes (techné ou 'ticas') de explicar, de conhecer, de entender, de lidar com, de conviver com (mátema) a realidade natural e sociocultural (etno) na qual ele, homem, está inserido." Tomando o campo da matemática como exemplo, numa perspectiva etnomatemática, o ensino deste ganha contornos e estratégias específicas, peculiares ao campo perceptual dos sujeitos aos quais se dirige. A matemática vivenciada pelos meninos em situação de rua, a matemática desenvolvida em classes do ensino supletivo, a geometria na cultura indígena, são completamente distintas entre si em função do contexto cultural e social na qual estão inseridas.

Para saber mais confira: http://www.ufrrj.br/leptrans/arquivos/etno.pdf

Concepções dos Professores de Matemática e Processos de Formação

Por João Pedro da Ponte, Universidade de Lisboa

O interesse pelo estudo das concepções dos professores, tal como aliás pelo estudo das concepções de outros profissionais e de outros grupos humanos, baseia-se no pressuposto de que existe um substracto conceptual que joga um papel determinante no pensamento e na ação. Este substrato é de uma natureza diferente dos conceitos específicos – não diz respeito a objectos ou acções bem determinadas, mas antes constitui uma forma de os organizar, de ver o mundo, de pensar. Não se reduz aos aspectos mais imediatamente observáveis do comportamento e não se revela com facilidade – nem aos outros nem a nós mesmos. As concepções têm uma natureza essencialmente cognitiva. Atuam como uma espécie de filtro. Por um lado, são indispensáveis pois estruturam o sentido que damos às coisas. Por outro lado, actuam como elemento bloqueador em relação a novas realidades ou a certos problemas, limitando as nossas possibilidades de actuação e compreensão. As concepções formam-se num processo simultaneamente individual (como resultado da elaboração sobre a nossa experiência) e social (como resultado do confronto das nossas elaborações com as dos outros). Assim, as nossas concepções sobre a Matemática são influenciadas pelas experiências que nos habituámos a reconhecer como tal e também pelas representações sociais dominantes. A Matemática é um assunto acerca do qual é difícil não ter concepções. É uma ciência muito antiga, que faz parte do conjunto das matérias escolares desde há séculos, é ensinada com carácter obrigatório durante largos anos de escolaridade e tem sido chamada a um importante papel de selecção social. Possui, por tudo isso, uma imagem forte, suscitando medos e admirações. A Matemática é geralmente tida como uma disciplina extremamente difícil, que lida com objectos e teorias fortemente abstractas, mais ou menos incompreensíveis. Para alguns salienta-se o seu aspecto mecânico, inevitavelmente associado ao cálculo. É uma ciência usualmente vista como atraindo pessoas com o seu quê de especial. Em todos estes aspectos poderá existir uma parte de verdade, mas o facto é que em conjunto eles representam uma grosseira simplificação, cujos efeitos se projectam de forma intensa (e muito negativa) no processo de ensino-aprendizagem. Os professores de Matemática são os responsáveis pela organização das experiências de aprendizagem dos alunos. Estão, pois, num lugar chave para influenciar as suas concepções. Como veem eles próprios a Matemática e o modo como se aprende Matemática? Qual a relação entre as suas concepções e as dos seus alunos? Que sentido faz falar de concepções, distinguindo-as de outros elementos do conhecimento, como por exemplo, das crenças? Qual a relação entre as concepções e as práticas? Qual a dinâmica das concepções, ou seja, como é que estas se formam e como é que mudam? Qual o papel que nestas mudanças podem ter os processos de formação? O matemático, por cada momento de criatividade tem muitos momentos de trabalho rotineiro e de árduo estudo. Além disso, trabalha com ideias sofisticadas e tem ao seu alcance formidáveis recursos que derivam do seu conhecimento de domínios mais ou menos vastos e de uma grande experiência anterior. Não é possível transpor estas condições para um aluno colocado perante uma tarefa necessariamente elementar e dispondo de recursos forçosamente limitados. Finalmente, quando se evoca esta metáfora, nem sempre se sublinha o grande esforço que os matemáticos fazem para a compreensão dos conceitos e resultados já existentes e a sua grande capacidade de concentração e de resistência à frustração, elementos indispensáveis à sua sobrevivência profissional. Gostaria de propor uma nova metáfora. Trata-se da metáfora do engenheiro. Ou seja, da pessoa que colocada perante uma situação concreta procura lançar a mão dos diferentes métodos e abordagens ao seu alcance, eventualmente modificando-os e combinando-os, de modo a construir uma solução satisfatória. Comparar a Matemática dos matemáticos com a dos engenheiros é certamente uma proposta arriscada. Os matemáticos valorizam de forma determinante o rigor e a consistência e não suportam os expedientes e o carácter por vezes mal justificado dos métodos a que é preciso recorrer se se quer encontrar soluções para problemas práticos. Dizer de alguém que a sua concepção de Matemática é a de um engenheiro tem sido um dos insultos mais cultivados pela elite dos professores — o que bem atesta o domínio absoluto que a Matemática Pura tem exercido sobre o campo do ensino. No entanto, hoje em dia, a tendência é cada vez mais para ver a Matemática como um todo, considerando artificiosa e limitativa a distinção entre Matemática Pura e Matemática Aplicada (NCR, 1989), uma vez que as mesmas teorias podem ser vistas como "puras" ou "aplicadas", dependendo apenas da óptica com que são encaradas. É cada vez mais reconhecida a importância da capacidade de lidar com as estruturas e regularidades matemáticas mas também da capacidade da as aplicar a situações exteriores à Matemática. Desta forma, poderá esperar-se alguma aceitação para esta metáfora, que valoriza a capacidade dos alunos formularem situações em termos matemáticos (matematização) e aplicarem conceitos já seus conhecidos à resolução de problemas concretos, incluindo naturalmente a construção de modelos matemáticos (modelação).

Relato de Experiência - A utilização da resolução de problemas nas aulas de matemática

Por: Clenilton Mota Brito de Souza – Curso de pós-graduação/Matemática

O referido relato constitui basicamente da aplicação de uma atividade subjetiva contendo 5 questões com situações do cotidiano do aluno, sendo que a última era para o educando elaborar uma situação-problema relacionada à sua realidade, pois queríamos analisar como o estudante reagiria com textos dentro das questões aritméticas, sendo que muitos alunos não assimilam a matemática com a interpretação de textos. Muitos acham que matemática é somente números e a análise textual só faz parte de Português. Essa concepção que muitos têm em relação à matemática nos levou a elaborar questões envolventes e contextualizantes. Não queríamos aplicar questões no quadro e nem dentro da sala de aula, queríamos que eles interagissem com seus colegas e que aquela atividade não se tornasse uma atividade a mais. Segundo Beatriz D’Ambrosio as aulas de matemática na maioria das vezes são aulas mecânicas e expositivas em que o professor utiliza exclusivamente a lousa e explana os conteúdos. Isso torna o aluno um agente passivo do seu próprio conhecimento e os cálculos por ele solucionados são apenas passos repetitivos sem conexão com a realidade em que vive. Ela continua frisando que o pensamento de muitos professores no que tange a resolução de problemas é meramente uma produção do professor. É empolgante aplicar atividades desafiadoras e divertidas, isso faz com que o professor busque inovar a sua prática pedagógica. Aluno e professor só têm a ganhar com isso, pois ambos crescem com as experiências. Para o aluno crescerá a sua auto-estima na busca de solucionar questões relacionadas ao seu cotidiano. É freqüente ouvirmos nas salas de aula muitos alunos questionarem: “Onde irei usar isso em minha vida?”. É fundamental que o educador de matemática esteja engajado na busca de se aperfeiçoar e aprender novas estratégias na resolução de problemas. Infelizmente, nos dias de hoje, os alunos assimilam a matemática como um mar de fórmulas e regras para serem decorados com objetivos de resolver a prova. Essa visão distorcida do que vem a ser a matemática para o aluno faz com que ele se desanime na busca de solucionar questões propostas em sala, pois segundo Beatriz, a supervalorização e a crença do poder absoluto da matemática que o aluno tem em relação à disciplina fazem com que ele não tenha atitudes críticas e reflexivas. Consequentemente ele se desanima na busca da solução, pois essa matemática não está próxima da usa realidade, por isso é costumeiro o educando desistir já de inicio nas atividades. O aluno deve ser o protagonista do seu conhecimento, no momento que nós, professores, dermos oportunidade para que os educandos liberem a criatividade que há em cada um deles produzindo questões vivas e atraentes, as aulas de matemática se tornarão mais significativas. Eles deixarão de ver a matemática como um bicho papão e terão mais gosto por essa disciplina. Quando aplicamos a atividade fomos percebendo o desejo dos alunos em resolver as questões. No final da atividade perguntamos para os alunos quais as questões que eles acharam difíceis de resolver e quais foram as mais fáceis. É importante que o professor pergunte para a classe quais são as dificuldades que eles estão encontrando no decorrer da situação-problema, isso faz com que o educador melhor direcione o seu planejamento e veja onde precisa focar mais na hora de explanar o conteúdo. Esse laço estreito entre aluno/professor enriquece mais o gosto pela matemática, pois o aluno não verá o professor como alguém que é o dono do conhecimento e que não pode descer do seu pedestal, mas pelo contrário, o professor que dá abertura para ouvir os questionamentos dos alunos. É preciso que os educadores de matemática tenham uma atitude flexível ao entrar na sala de aula. Como o professor de matemática vê a matemática? A sua prática pedagógica realmente é condizente com a sua fala? Questões como essas devem permear as mentes de todos os educadores de matemática em nosso país. Mas, infelizmente, o professor atualmente não vê por esse ângulo. Muitos acham que ensinar matemática se reduz a solução de cálculos e mais cálculos e, quando um aluno pergunta por que está estudando tal conta, a maioria responde que resolver bateria de exercícios faz com que aprenda melhor e mais rápido. Isso é uma atitude duvidosa, será mesmo que o aluno aprende melhor através da repetição de contas? Acredito que não! Ao lançarmos questões relacionadas à vida cotidiana dos alunos nós percebemos o prazer que eles tiveram em solucionar os exercícios e principalmente as múltiplas formas de se chegar a resposta. Ficamos supressos ao ouvir um aluno dizer que gostou muito de uma questão em que o tema “amizade” estava inserido na atividade. Nessa questão o personagem chamava-se Gugu e ele tinha 5 amigos. Eles eram super amigos e gostavam de jogar vídeo game. O aluno disse que ao resolver essa questão se identificou com Gugu. É preciso que nós, professores, não se preocupemos com a quantidade de conteúdos que devemos ensinar, mas devemos deforma harmoniosa ensinar o aluno a aprender e apreender aquilo que se está passando na sala de aula. Conforme lido no texto de Beatriz em que ela afirma que uma grande parte dos professores se preocupa com a quantidade dos conteúdos a serem ensinado e não com a qualidade. Para muitos educadores é mais importante a ação pedagógica do que a aprendizagem do aluno. Isso constrói uma aprendizagem deficiente e produz alunos viciosos e dependentes da ação do professor. A aula de matemática fica restrita ao quadro e a voz ativa do professor. O aluno não vivencia experiências e situações de investigações e de descobrimento. Essa atitude faz com que muitos alunos sintam repugnância pela matemática em si. A resolução de problemas quando bem direcionada faz com que o aluno aflore essas competências importantíssimas para viver em um mundo de constantes desafios em que, as habilidades de buscar soluções práticas, a socialização e a auto-reflexão são imprescindíveis para a formação de um cidadão. Quando pedimos para que os alunos levassem a atividade para casa e resolvessem juntamente com seus pais e colegas de classe e, depois trouxessem as dúvidas para serem debatidos em classe, isso fez com que as questões não se tornassem uma pedra no caminho deles, mas pelo contrário, o desejo de integração e companheirismo entre eles foi maior. A busca de encontrar soluções em conjunto faz com que o aluno assimile facilmente os conteúdos matemáticos. E os erros por eles encontrados fazem com que o ensino seja mais significante, pois os erros na matemática é uma forma de aprender e de direcionar a ação como o professor esta direcionando um determinado conteúdo, segundo Beatriz o professor de matemática pode compreender as interpretações dos alunos em uma determinada questão através dos erros por eles cometidos. Isso que dizer que os estudos dos erros na matemática não devem ser vistos como uma forma de punição por não ter encontrado a resposta exigida, mas pelo contrário, deve ser um ato de constante debate e de reformulação das questões nele abordados. Na atividade aplicada analisamos que cada aluno tinha uma forma particular de encontrar a resposta de cada situação-problema. Não desprezamos os erros que alguns alunos cometeram, mesmo sendo uma minoria. Levamos os erros para serem debatidos com os demais colegas tendo o cuidado de não pronunciar nomes dos que cometeram tais erros, para não constranger alguns alunos e para que todos tivessem um ambiente democrático e reflexivo nas aulas de matemática. Foi superinteressante perceber que os alunos davam opiniões diversas sobre tais erros, alguns ficavam eufóricos para resolver e ir ao quadro para mostrar aos outros colegas como encontrou a resposta. Essa abertura que demos aos alunos nos mostrou que é importante ouvirmos o que o aluno pensa e acha da matemática. A aplicação de resoluções de problemas e o debate democrático da matemática na sala fazem com que as aulas se tornem mais prazerosas e o conhecimento mais concreto na vida dos alunos. Quando o professor de matemática faz essa abertura para que o aluno tenha voz para questionar e mostrar o que pensa sobre a matemática o ensino dessa disciplina deixará de ser um bicho papão e se tornará uma matéria em que à maioria dos alunos terão desejo de estudar, pesquisar e descobrir. O primeiro passo está na forma como o educador lança os problemas matemáticos para a classe. É preciso que cada profissional da educação na área da matemática se torne um eterno pesquisador. Ganha o aluno, ganha o professor, ganha a educação.

O Professor e o Computador

Até os dias de hoje a Revolução Industrial ocorrida no final do século XVIII é considerada uma das mais significativas. Todavia, grandes transformações são geralmente acompanhadas de muitos temores. O medo do novo aparece sempre nas previsões pessimistas. Acredito não haver dúvidas de que estamos vivendo um novo momento de profundas mudanças. Na década de 1990, nos lares da classe média brasileira, surge o computador pessoal. E, a partir de 1995, popularizou-se no Brasil o uso da Internet, a rede mundial de computadores que é considerada por muitos uma fonte de transformações. As crianças e adolescentes demonstram grande facilidade para lidar com o computador e com a Internet. Isso talvez ocorra por conta de terem tido contato, desde muito cedo, com a tecnologia digital. Geralmente começam a usar computadores com apenas cinco anos de idade. Estas novas tecnologias passam a ser tratadas como algo natural para elas. Computadores não as assustam como acontece com as pessoas mais velhas. Já os pais e educadores de hoje quase sempre não tiveram a oportunidade de vivenciar ambientes computacionais e refletem certo temor sobre o tema. Esta semana tive oportunidade de presenciar uma situação desse tipo ouvindo um professor declarar, de forma pungente, sua aversão aos computadores. Disse ele: ¨O meu só serve para digitar as provas¨. Acredito que estamos com um sério problema de despreparo profissional que começa no ensino básico e vai até o universitário. Os alunos ficam numa situação difícil. Precisam conviver com três tipos de mestres. Professor Tipo 1: Antenado – Procura enviar e receber apontamentos pela rede. Esses professores podem ser jovens ou mais experientes, são atualíssimos. Lembrei-me, ao escrever este artigo, do Prof. Alexandre Aquino, que enviava para mim as orientações de monografia por arquivo de voz mp3. Parabéns! Um abraço! Professor Tipo 2: Trivial necessário – Produz as provas no computador e envia as notas quando a Escola ou Universidade tem sistema próprio. Professor Tipo 3: Anti-tecnológico - Este detesta até quem gosta de computador. Escreve as provas no quadro e os alunos as entregam em folha de caderno como no Séc. XIX. Imagine você, caro leitor, quantos paradigmas precisam ser triturados. Por um lado os jovens que convivem e aceitam os avanços naturalmente. Por outro lado os resistentes que tentam ir contra a onda tecnológica. Lembrei-me, também, de um advogado que não se desprendeu de sua máquina de escrever Olivetti. Estava ele redigindo uma petição e no final da página errou o nome do cliente. Teve de datilografar toda a lauda novamente. Ainda bem que para escrever este pequeno artigo posso levar os parágrafos para cima, para baixo, trocar as palavras e o melhor, quando erro, aparece um risco vermelho debaixo da palavra digitada errada. Como alguém pode não gostar de computador? Temos que nos lembrar de que educar é algo mais que fixar conteúdos sem significados; educar é contribuir para a formação de cidadãos felizes que consigam viver em harmonia, que saibam trabalhar em equipe, que respeitem as diferenças, que evoluem, que ousem e criem. Por isso é preciso usar as ferramentas tecnológicas disponíveis e não seguir na contra mão fugindo das mesmas. Postas essas questões, fica a indagação: como podemos fomentar inclusão digital com toda esta desarmonia. Nos locais mais distantes e pobres onde a inclusão é mais necessária é que se encontram mais professores anti-tecnológicos. Como criar uma cultura de inclusão se o difusor de conhecimento não o tem para si? E não pense que esses profissionais de mal com a tecnologia estão apenas nas escolas básicas de periferia. Eles podem estar em instituições que cobram caro pelo trivial. Chega de PF (prato feito). Nós, brasileiros, precisamos cobrar mais eficiência das instituições públicas, como também das instituições privadas. Se você vende pastel e seu pastel é ruim ninguém compra. Logo se você estuda numa escola e o professor ou a escola é ruim você pode reclamar. Você paga por isso em impostos ou mensalidades, portanto, todos têm direito a modernidade e eficiência. O Brasil está mudando, cada dia que passa tem menos brasileiro bobo. Srs. Pais, Alunos, Mestres, Autoridades educacionais, este ciclo tem de parar: o Professor finge que ensina, o aluno acha que sabe e a escola forma uma legião de pessoas de futuro incerto. E depois, na vida real, como fica? Publicado no Jornal Tribuna do Paraopeba em Agosto de 2007. Po Luiz Giovanni de Almeida

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A Álgebra da Escola Básica

O que é a álgebra da escola básica? A álgebra da escola básica se relaciona à compreensão do significado das “letras” (comumente chamadas atualmente de variáveis) e das operações com elas, e consideramos que os alunos estão estudando álgebra quando encontram variáveis pela primeira vez. Porém, como o próprio conceito de variável é multifacetado, a redução da álgebra ao estudo das variáveis não responde à pergunta: “o que é a álgebra da escola básica”?

De fato, consideremos as seguintes equações, todas elas com a mesma forma (o produto de dois números é igual a um terceiro): 1) A = b. h 2) 40 = 50 x 3) sen x = cos x. tg x 4) 1 = n. (1/n) 5) y = kx Cada uma delas tem um caráter diferente. Comumente chamamos 1) de fórmula, 2) de equação, 3) de identidade, 4 de propriedade e 5) de expressão de uma função que traduz uma proporcionalidade direta e não é para ser resolvida. Esses diversos nomes refletem os diferentes usos dados à idéia de variável. Percebemos que as letras representam papéis diferentes em cada caso Em 1), A, b e h representam a área, a base e a altura de um retângulo ou paralelogramo e têm o caráter de uma coisa conhecida. Em 2), tendemos a pensar em x como uma incógnita. Em 3), x é o que denominamos o argumento de uma função. A equação 4), ao contrário das outras, generaliza um modelo aritmético (o produto de um número por seu inverso é 1), e n indica um exemplo do modelo. Em 5), x é mais uma vez o argumento de uma função, y o valor da função e k uma constante ou parâmetro, dependendo de como a letra é usada.

Concepção 1: a álgebra como aritmética generalizada

Nesta concepção, é natural pensar as variáveis como generalizadoras de modelos. Por exemplo, generaliza-se uma igualdade como 3 + 5 = 5 + 3, na qual a ordem das parcelas não altera a soma, escrevendo-se a + b = b + a. Outros exemplos são: 1) os números pares positivos, 2 = 2. 1, 4 = 2. 2, 6 = 2. 3, 8 = 2. 4, podem ser representados por 2. n, ou 2n, onde consideramos que n representa qualquer número inteiro positivo; 2) expressamos a proposição aritmética que diz que o produto de qualquer número por zero é zero escrevendo x. 0 = 0, para todo x (a letra x representa um número genérico qualquer, não assumindo o significado de incógnita nem de variável). Nessa concepção de álgebra como aritmética generalizada, as ações importantes para o estudante da escola básica são as de traduzir e generalizar.

Concepção 2: a álgebra como estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas

Consideremos o seguinte problema: adicionando 3 ao quíntuplo de um certo número, a soma é 43. Achar o número. O problema é traduzido para a linguagem da álgebra da seguinte maneira: 5x + 3 = 43. Essa equação é o resultado da tradução da situação do problema para a linguagem algébrica, e ao fazer isso, trabalhamos segundo a Concepção 1. Na concepção de álgebra como estudo de procedimentos, temos que continuar o trabalho resolvendo a equação. Por exemplo, se somarmos – 3 a ambos os membros da equação, teremos:

5x + 3 + (-3) = 43 + (- 3). Simplificando, obtemos: 5x = 40, e encontramos x = 8. Assim, o “certo número” do problema é 8, e facilmente se testa esse resultado, calculando 5. 8 + 3 = 43. Ao resolver problemas desse tipo, muitos alunos têm dificuldade na passagem da aritmética para a álgebra. Enquanto a resolução aritmética (“de cabeça”) consiste em subtrair 3 de 43 e dividir o resultado por 5, a forma algébrica 5x + 3 envolve a multiplicação por 5 e a adição de 3, que são as operações inversas da subtração 43 – 3 e da divisão 40: 5. Isto é, para armar a equação, devemos raciocinar exatamente de maneira oposta à que empregaríamos para resolver o problema aritmeticamente. Nesta segunda concepção de álgebra, as variáveis são ou incógnitas ou constantes. Enquanto as instruções-chave no uso de uma variável como generalizadora de modelos são traduzir e generalizar, na concepção da álgebra como um estudo de procedimentos para resolver problemas, as instruções-chave são simplificar e resolver. O aluno, nessa concepção, precisa dominar não apenas a capacidade de equacionar os problemas (isto é, traduzi-los para a linguagem algébrica em equações), como também precisa ter habilidades em manejar matematicamente essas equações até obter a solução. A letra aparece não como algo que varia, mas como uma incógnita, isto é, um valor a ser encontrado.

Concepção 3: a álgebra como estudo de relações entre grandezas

Quando escrevemos a fórmula da área de um retângulo, A = b. h, estamos expressando uma relação entre três grandezas. Não se tem a sensação de se estar lidando com uma incógnita, pois não estamos resolvendo nada. Fórmulas como essa transmitem uma sensação diferente de generalizações como 1 = n. (1/n), mesmo que se possa pensar numa fórmula como um tipo especial de generalização. Considerando que a concepção de álgebra como estudo de relações entre grandezas pode começar com fórmulas, a distinção crucial entre esta concepção e a anterior é que, nela, as variáveis realmente variam. Que há uma diferença fundamental entre estas duas concepções fica evidente pela resposta que os alunos geralmente dão à seguinte pergunta: o que ocorre com o valor de 1/x quando x se torna cada vez maior? A questão parece simples, mas é suficiente para confundir os alunos. Não pedimos o valor de x, portanto x não é uma incógnita. Também não estamos pedindo ao aluno que traduza. Há um modelo a ser generalizado, mas não se trata de um modelo que se pareça com a aritmética (não teria sentido perguntar o que aconteceria com o valor de ½ quando 2 se torna cada vez maior). Trata-se de um modelo fundamentalmente algébrico. Dentro desta terceira concepção, a álgebra se ocupa de modelos e leis funcionais que descrevem ou representam as relações entre duas ou mais grandezas variáveis. Uma variável é um argumento (isto é, representa os valores do domínio de uma função) ou um parâmetro (isto é, um número do qual dependem outros números). O fato de variáveis e argumentos diferirem de variáveis e incógnitas se evidencia na questão: achar a equação da reta que passa pelo ponto (6, 2) e tem inclinação 11. Uma forma habitual de resolver esse problema combina todas as utilizações das variáveis apresentadas até aqui. Costuma-se começar a partir do fato conhecido de que os pontos de uma reta estão relacionados por uma equação do tipo y = mx + b. Temos aqui tanto um modelo entre variáveis como uma fórmula. Embora, para o professor, x e y sejam encarados como variáveis e m represente um parâmetro (quando m varia, obtemos todas as retas do plano não-verticais), para o aluno pode não ficar claro se o argumento é m, x ou b. Pode parecer que todas as letras sejam incógnitas (particularmente x e y, letras consagradas pela tradição para representar incógnitas). Vejamos a resolução. Como conhecemos m (representa a inclinação da reta), substituímos essa letra pelo seu valor, obtendo y = 11x + b. Vemos, então, que, no caso específico do problema, m é uma constante, não um parâmetro. Agora precisamos achar b, de modo que b não é um parâmetro, e sim uma incógnita. Como achar b? Usamos um par entre os muitos pares de valores associados x e y. Isto é, escolhemos um valor do argumento x para o qual conhecemos o valor associado de y. Podemos fazer isso em y = mx + b porque essa relação descreve um modelo geral entre números. Com a substituição, 2 = 11. 6 + b, e, portanto, o valor de b é – 64. Mas não achamos x e y, embora tenhamos dado valores para eles, porque não eram incógnitas. Achamos apenas a incógnita b e substituímos seu valor na equação modelo, obtendo finalmente a resposta do problema: y = 11x – 64. Concepção 4: a álgebra como estudo das estruturas No curso superior de Matemática, o estudo de álgebra envolve estruturas como grupos, anéis, domínios de integridade, corpos e espaços vetoriais. Isso parece ter pouca semelhança com a álgebra da escola básica, embora sejam essas estruturas que fundamentam a resolução de equações nesse nível de ensino. Contudo, podemos reconhecer a álgebra como estudo das estruturas na escola básica pelas propriedades que atribuímos às operações com números reais e polinômios. Consideremos os seguintes problemas: 1) determine (a + x) (b – 1); 2) fatorar a expressão ax + ay – bx – xy. A concepção de variável, nesses dois exemplos, não coincide com nenhuma daquelas discutidas anteriormente. Não se trata de nenhuma função ou relação, ou seja, a variável não é um argumento, como na concepção 3. Não há qualquer equação a ser resolvida, de modo que a variável não atua como uma incógnita, como na concepção 2. Do mesmo modo, não estamos dentro da concepção 1, já que não há qualquer modelo aritmético a ser generalizado. Olhemos para as respostas dos problemas: 1) ab – a + bx – x; 2) (a - b) (x + y). Nos dois problemas, as variáveis são tratadas como sinais no papel, sem qualquer referência numérica. O que caracteriza a variável na concepção da álgebra como estudo de estruturas é o fato de ser pouco mais do que um símbolo arbitrário. Observe-se que as atividades conhecidas como de cálculo algébrico, que são muito freqüentes no currículo usual da escola básica (produtos notáveis, fatoração, operações com monômios e polinômios) situam-se no âmbito da concepção 4.

Texto adaptado de USISKIN, Zalman. Concepções sobre a álgebra da escola média e utilizações das variáveis. In: COXFORD, Arthur F.; SHULTE, Alberto P.(Org). As idéias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995.

http://www.mat.ufmg.br/~espec/meb/files/Algebra_e_variaveis.doc

Aplicando jogos matemáticos na sala de aula

O currículo proposto pela LDB não deve ser encarado pelo professor como algo a ser comprido a risca ou como um montante de conteúdos que devem ser aplicados a qualquer custo, sem possibilidade de mudanças. O educador deve estar atento ao que o currículo oferece e tentar evoluí-lo, acrescentar a ele recursos que possam facilitar e aprimorar o aprendizado do aluno. É aí que os jogos matemáticos entram. Os jogos matemáticos não são as únicas formas lúdicas de trabalhar um conteúdo ou de evoluir o currículo, mas é uma das mais bem aceitas pelos alunos. A escolha de um jogo não deve ser aleatória, é necessário selecionar um conteúdo, relacionar conceitos, pensar em matérias, estudar contextos, observar os alunos e refletir sobre a eficácia do que é proposto. Com certeza, aplicar um jogo matemático que tenha relação direta com um conteúdo é muito trabalhoso, mas a resposta dos alunos é mais satisfatória do que a tradicional aula quadro e giz. Depois que o professor passou por todas as fases citadas acima e escolheu um jogo para os seus alunos, ele deve ter em mente que esse jogo deve ser um fator motivador para que eles consigam entender o verdadeiro significado de alguns termos e conceitos matemáticos. O professor deve estar se perguntando como que o jogo vai fazer com que o aluno entenda melhor conceitos matemáticos? Tudo começa na conscientização do professor de que:

• é importante aplicar na sala de aula o lúdico, tornar a educação matemática algo acessível não só dentro de sala de aula, mas no cotidiano do nosso aluno.

• e devemos também tomar consciência de que não será no primeiro jogo aplicado que os alunos irão identificar o que fazer quando lhe é apresentado um jogo curricular e nem irá conseguir organizar mentalmente as fazes que deverá percorrer, tudo é um processo.

Para que as aplicações dos jogos curriculares sejam positivas, esses devem fazer parte da estratégia pedagógica do professor durante todo o ano letivo, não deve ser trabalhado aleatoriamente e ao aplicá-lo deve dar ao aluno a oportunidade de comunicar, interagir para que formulem as suas próprias opiniões. A interação, a comunicação com outros colegas tornará a linguagem cotidiana e a linguagem matemática uma ponte de diálogo entre os alunos e entre eles e o professor.

A comunicação entre eles, a identificação, a relação do jogo com o conteúdo matemático tornará mais fácil e acessível a compreensão dos pontos importantes para uma perfeita comunicação matemática que são: • Compreender enunciados orais e escritos. • Exprimir oralmente e por escrito enunciados de problemas e conclusões. • Utilizar a nomenclatura adequada. • Interpretar e utilizar representações matemáticas. • Transcrever mensagens matemáticas da língua materna para a linguagem simbólica e vice-versa. Durante a aplicação do jogo o professor deve estar atento às reações dos alunos, se realmente estão mentalmente envolvidos, se conseguem identificar e interpretar as regras, se estão superando as dificuldades ou procurando uma estratégia. Esses são pontos identificadores para o professor avaliar se realmente o jogo aplicado está sendo aceito. O jogo deve ser visto pelo professor como uma das várias estratégias pedagógicas e o sucesso da sua aplicação está diretamente ligado ao planejamento (como o conteúdo será abordado). O professor deve estar sempre atento às novas formas de ensino, sempre focando o ensino na realidade de vida e aprendizado do seu aluno.

Por Danielle de Miranda - Graduada em Matemática - Equipe Brasil Escola

http://www.educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/aplicando-jogos-matematicos-sala-aula.htm

Sites de curiosidades e desafios matemáticos

http://www.ojogos.com.br/jogos/matematica/matematica.html http://leandrobrito.br.tripod.com/curiosidades.htm

http://www.geocities.com/curiosidadesedesafios/

http://www.ojogos.com.br/jogos/matematica/matematica.html

Probabilidade

O que é que se entende por probabilidade de um acontecimento? A Probabilidade, sendo uma noção primitiva , é muito difícil de definir. Utilizamos a noção de Probabilidade no dia-a-dia, nas mais variadas situações, para exprimir uma medida da "credibilidade" ou "grau de convicção" na observação do acontecimento, na próxima realização da experiência aleatória. Como quantificar ou "estimar" essa medida?

É costume identificar o conceito de Probabilidade de um acontecimento com o recurso ao processo usado para a estimar. Na definição que demos de experiência aleatória salientámos o seu caracter repetitivo. Assim, o mais comum é recorrer à frequência relativa com que o acontecimento se observa num grande número de realizações da experiência, para definir a sua Probabilidade.

História e Probabilidades ( contextualizando) A noção de probabilidade tem a sua origem mais remota referida não só à prática de jogos ditos "de azar" mas também, antes disso, à instituição dos seguros que foram usados já pelas civilizações mais antigas, designadamente pelos fenícios, a fim de protegerem a sua actividade comercial marítima. O Cálculo das Probabilidades parece ter nascido, enquanto tal, na Idade Média, com as primeiras tentativas de matematização dos jogos de azar, muito difundidos na época. É sabido que desde sempre os jogos foram praticados como apostas mas também para prever o futuro, decidir conflitos, dividir heranças, etc. Devem-se aos algebristas italianos Pacioli, Cardano e Tartaglia (séc. XVI) as primeiras considerações matemáticas acerca dos jogos e das apostas. Eles limitam-se, no entanto, a resolver alguns problemas concretos mas ainda sem demonstração de teoremas, embora façam já comparação de frequência de ocorrências e estimativas de ganhos. No entanto, o contributo decisivo para o início da Teoria das Probabilidades foi dado pela correspondência trocada entre os matemáticos franceses Blaise Pascal e seu amigo Pierre de Fermat, em que ambos, por diferentes caminhos, chegam à solução correcta do célebre problema da divisão das apostas em 1654. Este problema teria sido posto a Pascal pelo cavaleiro De Méré (considerado por alguns autores jogador inveterado e por outros, filósofo e homem de letras) quando viajava em sua companhia. Sem que Pascal e Fermat o soubessem, este problema era basicamente o mesmo que, um século antes, interessara também Pacioli, Tartaglia e Cardano. O desenvolvimento das aplicações das probabilidades No período que vai dos primeiros estudos matemáticos de probabilidades até a metade do século passado, surgiram varias aplicações da Teoria das Probabilidades, aplicações que chamamos de clássicas: • os cálculos atuariais, especialmente os associados aos seguros de vida • os estudos demográficos e, em especial, os estudos de incidência de doenças infecciosas e o efeito da vacinação ( exemplo de grande repercussão na época sendo o da varíola ) • a construção das loterias nacionais e o estudo dos jogos de azar: carteados, roleta, lotos, etc Contudo, o que queremos aqui abordar é o surgimento das modernas aplicações da Teoria das Probabilidades, pois são essas que vão demonstrar a enorme importância teórica e prática das idéias probabilistas e estender seu uso a uma enorme gama de profissionais e até mesmo a muitas atividades do cotidiano do viver moderno. Dentre essas modernas aplicações, nos concentraremos em:  probabilidades na Física  probabilidades na Estatística  probabilidades na Engenharia

O número pi

Um número fascinante PI, o valor da razão entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro, é a mais antiga constante matemática que se conhece. E' tambem um dos poucos objetos matematicos que, ao ser mencionado, produz reconhecimento e ate mesmo interesse em praticamente qualquer pessoa alfabetizada.Apesar da antiguidade do nosso conhecimento do PI, ele ainda é fonte de pesquisas em diversas áreas. Com efeito, dentre os objetos matemáticos estudados pelos antigos gregos, há mais de 2 000 anos, Pi é um dos poucos que ainda continua sendo pesquisado: suas propriedades continuam a ser investigadas e procura-se inventar novos e mais poderosos métodos para cálcular seu valor, sendo que a divulgação desses resultados constitui uma das raras ocasiôes em que vemos a Matemática atingindo os meios de comunicação de massa.

PI está em todos os lugares

O rolar das ondas numa praia, o trajeto aparente diário das estrelas no céu terrestre, o espalhamento de uma colônia de cogumelos, o movimento das engrenagens e rolamentos, a propagação dos campos eletromagnéticos e um sem número de fenômenos e objetos, do mundo natural e da Matemática, estão associados às idéias de simetria circular e esférica. Ora, o estudo e uso de círculos e esferas, de um modo quase que inexorável, acaba produzindo o PI. Daí a ubiquidade desse número. Ele é uma das constantes universais da Matemática.É importante chamarmos a atenção para o fato que também são frequentes as ocorrências do PI em estudos onde aparentemente, principalmente para uma pessoa de pouca formação matemática, não estariam envolvidas simetrias circulares: na normalização da distribuição normal de probabilidades, na distribuição assintótica dos números primos, na construção de números primos próximos a inteiros dados ( na chamada constante de Ramanujan ), e mil e uma outras situações.

A descoberta do PI Muitas pessoas acham que precisamos ter o valor do PI para calcular circunferência de círculos. Um exemplo clássico mostrando que isso NAO e' verdade e' o cálculo da circunferência da Terra por Erathostenes c. 250 AC. Ele mediu um arco de meridiano terrestre de 5000 estádios e, usando um instrumento de forma semi-esférica ( chamado skaphe ), verificou que esse arco de meridiano era proporcional a um arco de meridiano da skaphe, o qual media 1/50 do meridiano da esfera desse instrumento. Consequentemente, concluiu que o meridiano terrestre e' 50*5000 = 250000 estádios. Ou seja, em lugar nenhum precisou saber o valor do PI! Esse exemplo, e outros que poderiamos mencionar, mostram que é bastante surpreendente que a quase totalidade das pessoas ache que PI foi descoberto ao se relacionar circunferências com diâmetros dos respectivos círculos. Embora a definição usual do PI baseie-se na constância da razão circunferência : diâmetro, muito provavelmente não foi essa a origem do PI. Com efeito, é difícil imaginarmos situações práticas reais onde, numa civilização incipiente, alguém tenha precisado calcular a circunferência de um círculo de diâmetro conhecido, ou vice-versa. Muito mais naturais sao problemas requerendo achar a área de um campo circular em termos do diâmetro ou mesmo em termos da circunferência. Em verdade, devia-se até questionar se a descoberta do PI realmente ocorreu no contexto de círculos, e não no de esferas. Essa inquietação nao é só nossa. O famoso historiador matemático Abraham Seidenberg gastou muitos anos de sua vida vasculhando museus e lendo trabalhos de antropologia, em busca dos mais antigos indícios de envolvimento humano com círculos, esferas e o PI. O resultado desses estudos foi resumido nos seus artigos The ritual origin of the circle and square, Archiv. Hist. Exact Sc. 25, (1981), e principalmente em On the volume of a sphere, Archiv. Hist. Exact Sc. 39, (1988). Sua conclusão foi que o cálculo do volume da esfera em termos de seu diâmetro remontaria a antes de 2 000AC, sendo anterior a matemática das grandes antigas civilizações mesopotâmica, indiana, chinesa e egípcia. O historiador matemático B. van der Waerden identifica essa origem com o que chamo de Tradição Origem da Matemática e a localiza no Vale do Danúbio c. 4 000 AC. Segundo Seidenberg, nessa tradição também se teria reconhecido a igualdade da constante de proporcionalidade relacionando circunferência com diâmetro e área de círculo com quadrado do raio; ou seja, já nessa tradição, possivelmente lá por 3000 a 4000AC, se teria reconhecido que o "PI da circunferência" é igual ao "PI da área do círculo". Também é interessante observar que Seidenberg concluiu que a descoberta dessa igualdade usou métodos infinitesimais, ao estilo de Cavalieri. E' preciso que fique bem claro que o que o trabalho de Seidenberg achou na noite dos tempos, em bem remota antiguidade, foram apenas indícios indiretos de envolvimento com PI. Os mais antigos documentos concretos que temos e que tratam explícitamente de PI são tabletas mesopotâmicas de c. 2 000 AC, como a mostrada ao lado. Examinando a figura desenhada, fica fácil ver que a mesma corresponde a adotar a aproximação grosseira PI = 3, que é a mais comum das aproximações para PI que encontramos nos documentos mesopotâmicos.

EXERCÍCIO ( esse exercício pode ser feito com tampinhas de garrafas peti)

Para fazer a quadratura ( = achar um quadrado de mesma área ) de um círculo dado, os egípcios usavam a seguinte regra prática: construa o quadrado cujo lado é o segmento que resulta ao cortarmos fora a nona parte do diâmetro do círculo dado. Obviamente, essa regra faz uma quadratura aproximada e equivale a tomar PI = 4 ( 8 / 9 )2 = 3.16. Essa aproximação é muito difundida na literatura do ensino secundário e primário e tipicamente ela é citada ( erroneâmente ) como a mais antiga aproximação conhecida para o PI. Existem duas razões para a divulgação desse erro: o grosso da literatura histórica acessível aos professores do ensino primário e secundário é obsoleta, nem ao mesmo tomando conhecimento das pesquisas fundamentais de Neugebauer c. 1 930 sobre a matematica mesopotâmica; a outra razão é a perniciosa influência que as fantasias e deturpações da Etnomatemática tem tido no ensino elementar. Embora essa aproximação egípcia para o PI não seja a mais antiga e nem a mais exata entre as conhecidas na Antiguidade, ela corresponde a uma regra muito simples, prática e razoavelmente precisa. Mais importante e interessante é perguntar como os egípcios descobriram tal regra.Inúmeros historiadores investigaram essa questão e, talvez, quem mais detalhadamente a estudou foi Paulus Gerdes, no trabalho: Three alternate methods of obtaining the ancient Egyptian formula for the area of a circle, in Historia Math. 12 ( 1 985 ), n.3.Nesse trabalho, o Prof. Gerdes apresenta três tentativas de reconstrução do método de descoberta pelos egípcios, sendo que passaremos a explicar a mais plausível delas, a que envolve um procedimento comum entre os construtores egípcios: o método dos discos metálicos. Usando os discos metálicos, fica fácil ver como eles chegaram a tal valor observando as figuras abaixo:

Obviamente, o quadrado acima faz a quadratura ( aproximada ) do círculo, pois essas duas figuras são formadas de 64 discos. Para V. obter a aproximação egípcia do PI, resta V. conseguir explorar a igualdade dessas áreas levando em conta o valor do diâmetro do círculo e o do lado do quadrado expressos em termos do tamanho dos discos.

A descoberta teórica do PI

Quem pela primeira vez provou rigorosamente a existência do PI?Bem, essa pergunta talvez nunca possa ser respondida. Que eu saiba, a mais antiga referência que temos de uma demonstração da existência do PI fala de Hippokrates de Chios, c. 430 AC. Trata-se de uma nota de Simplicius, filósofo grego que viveu quase mil anos depois de Hippokrates. Simplicius, no seu Comentário sobre o livro Physis, de Aristóteles, menciona que Eudemos na sua História da Geometria ( escrita c. 330 AC e, hoje, há muitos séculos totalmente perdida ) diz que Hippokrates demonstrou que a razão entre as áreas de círculos é igual à razão entre os quadrados dos respectivos diâmetros. Por outro lado, o mais antigo documento ainda existente e que traz demonstração da existência do PI é o livro Elementos de Euclides, escrito em c. 300 AC. Na proposição 2 do Livro XII dos Elementos, Euclides enuncia e prova que círculos estão um para o outro assim como os quadrados de seus diâmetros, que é o resultado atribuído acima a Hippokrates. Ademais, na proposição 18 desse Livro XII, Euclides enuncia e prova que esferas estão uma para a outra assim como a razão tríplice de seus diâmetros. Euclides encerrou o Livro XII de seus Elementos sem tratar da questão da área da esfera. ( Coube a Archimedes c. 250 AC mostrar que a razão entre as áreas de esferas é igual à razão entre os quadrados de seus diâmetros ). Mas o mais curioso é que em nenhum dos treze livros dos Elementos Euclides fala no PI da circunferência.

Por que é tão difícil calcular o PI?

A principal razão é que PI não é uma fração. Com efeito, se PI pudesse ser escrito como uma fração m / n, seu cálculo poderia ou se resumir em buscar o valor de tais numeros inteiros m e n ou explorar a periodicidade de sua representação decimal( por exemplo, se fosse verdade que PI = 22 / 7 = 3.142857 142857 142857 ..., então nos bastaria achar o valor da parte inteira, 3, e o bloco 142857 que se repete indefinidamente ) O fato de que, por mais de 2000 anos, ninguém tivesse conseguido explorar nenhuma das duas possibilidades acima é exatamente o que sugeriu que PI não deva ser uma fração. A verificação rigorosa desse fato, ou seja a demonstração da irracionalidade de PI, veio só com Lambert, em 1 761.Em verdade, por si só, a irracionalidade de PI não seria suficiente para determinar a dificuldade de seu cálculo; com efeito, existem irracionais de representação decimal previsível, e então fáceis de calcular, como é o caso de 3.10110111011110... . PI é difícil de calcular porque é um irracional imprevisível: sua representação decimal não mostra nenhuma previsibilidade, sendo que acredita-se que seus algarismos se distribuam aleatoriamente. O cálculo de aproximações práticas do PI? Dada a ubiqüidade do PI, já comentada acima, é mais do que natural e importante que desejemos calcular seu valor. Contudo, dada sua irracionalidade imprevisível, jamais saberemos seu valor exato e isso nos leva a indagar: por que não nos contentarmos com aproximações PRATICAS do PI? Nas lides diárias, dificilmente precisaremos conhecer uma aproximação melhor do que 3.14, enquanto que a vasta maioria dos calculos científicos não precisa saber mais do que 3.1416 e somente cálculos matemáticos muito exigentes, como o da obtenção de valores muito exatos das funções trigonométricas, precisaria saber mais de 10 dígitos do PI.O mais antigo matemático que se preocupou com a obtenção de aproximações PRATICAS do PI foi Archimedes c. 200AC, em seu trabalho Sobre a medida do círculo. Usando o método dos polígonos, que descreveremos adiante, na proposição 3 desse trabalho ele mostra que: a circunferência de qualquer círculo é maior do que três vezes seu diâmetro, e o excesso e' menor do que a sétima parte do diâmetro mas maior do que dez vezes sua septuagésima primeira parteou seja: 3 10/71 <>

Pesquisado no site:

http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/aplcom1a.html

A ORIGEM DOS NÚMEROS

Pesquisar sobre a história dos números, realmente, representa algo novo, diferente: um desafio. Muitos professores de matemática, por exemplo, sabem explorar relações numéricas de maneira esplêndica, mas não tomam conhecimento de todo este processo histórico que envolve a invenção de seu instrumento de trabalho: o número.

Os atuais algarismos hindu-arábicos são produto de muitos anos de história e desenvolvimento social. Os povos primitivos necessitavam de uma simbologia para representar suas transações comerciais, mas como fazer isso? Contratos, empréstimos e trocas, necessitavam ser grafados, mas não existiam símbolos convencionados para isso A partir daí, várias civilizações, como veremos a seguir, se empenharam no processo de simbolização do algarismo.

Ao ler a história dos números, faça-o com bastante atenção, pois recebemos um 'presente' pronto e perfeito dos povos antigos, o qual sabemos pouquíssimo sobre seu processo histórico e, também, restritos autores abordam o tema tratado, por isso, há uma carência de bibliografias no âmbito. A expanção, as trocas comerciais, e as diversas transações financeiras em sociedades primitivas, levaram antigas civilizações (cerca de 5000 anos atrás), a iniciar o processo de representação numérica. Logicamente, este início foi instável, ou seja, estes povos começaram a representar valores e quantidades de maneira arcaica, usufruindo de recursos rudimentares para sua simbolização. Entre eles citamos pedras, argila, madeira e ossos. Entre estes antigos povos, destacaremos alguns que foram pioneiros no processo do grafismo numérico.

Cerca de 3300 anos a. C., os Sumérios e Elamitas, iniciaram este processo evolutivo, e possuíam necessidade de representar trocas comerciais e suas posses. Para isso, utilizavam fragmentos de argila para esta simbolização. Faziam sucessivos desenhos na argila de maneira nítida os componentes de sua troca, ou mesmo, os seus bens. Datando-se de 3000 anos aC., os egípcios foram sábios e inovadores neste processo, ou seja, iniciaram uma representação própria e original, sem imitação, onde começaram a utilizar a base 60 em sua contagem. Seus símbolos eram grafados em pedras, cerâmica e em papiro (com material colorante). Já os avanços na escrita numérica na civilização asteca, foram descobertos através de um documento histórico que relata o processo histórico de desenvolvimento deste povo (Codex). A base utilizada era 20, e os números eram representados por gravuras, como um círculo para a unidade, um machado para a base 20, uma pena para o número 400, e um saco cheio de grãos para 8000.

Em seguida, os povos gregos e romanos começaram, também a contribuir no processo de grafismo numérico. Os gregos utilizam as letras do alfabeto para representar valores numéricos, entre elas, temos: l ,b ,W ,p . Já os Romanos usufruíam de um sistema, que baseava-se na repetição constante de símbolos. Vestígios desta representação, oriundos de entalhes e perfurações em ossos. Eles usavam a regra da soma e subtração na representação dos algarismos. Historiadores afirmavam que a simbologia romana provém das letras I,V, X, L, D e M, onde, I (um), V(cinco), X (dez), L(cinquenta), D (quinhentos) e M (mil). No entanto, a base usada, era 5. O povo da Índia, atribuía valores afetivos, emocionais para a representação numérica. Citamos por exemplo: 1 (eka)-pai, corpo, único, 2(dvi)-gêmeos, casal, olhos, braços, 3(tri)-os 3 mundos. Cerca de 300 anos aC., surge o povo Hindu, novamente neste processo, e em constante evolução no processo de representação numérica. Neste período, os algarismos começaram a adquirir deu formato atual. Este povo, não era permitido efetivar cálculos. No século VIII, os árabes adotaram o sistema Hindu de representação, e quando iniciaram o processo de conquista muçulmana-árabe, difundiram a atual representação numérica (0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) por todo o ocidente. Esta última evolução no grafismo numérico, foi efetivada pelos árabes, quando transcreveram a representação Hindu para os pergaminhos. Os calculadores faziam seus cálculos em tábuas de poeira (algarismos Ghobar). A introdução dos algarismos Hindus na Europa, já foi mais complicado, pois, na Idade Média, o povo não possuia acesso à cultura, no entanto o Papa Romano contestava a representação Hindu e a inferiorizava constantemente. Mas Gebert d'Aurillac, foi precursor, e levou a numeração Hindu para a Europa, e ele foi tão contrariado, que os cristãos o definiam como um ser demoníaco. Ao descrevermos sobre a escrita numérica, não podíamos de esquecer de ressaltar alguns pensamentos interessantes entre os povos antigos. Alguns, não contavam pessoas, pois seria a mesma coisa que condená-la à morte. Em Uruk(2850 anos aC.), o casamento era um contrato, cujo 'valor da noiva' , era definido e representado na argila. A solidão em antigas tribos, era representada pelo número 1. Representamos mecanicamente os números e usufuímosd dos mesmos constantemente em nosso dia-a-dia. A engenharia, a computação e a mecânica por exemplo, não existiam sem a representação numérica. Como vimos, o tempo para atingirmos a base 10 e a atual representação, foi cerca de 500 anos, no entanto, concluímos, que as descobertas baseiam-se em estudos prévios, atingindo assim, um ponto de equilíbrio, demonstrando o caráter dialético do processo de evolução da história e da humanidade.

Bibliografia: FALZETTA, RICARDO. Matemática- Tire Lições da História das Palavras. Revista Nova Escola, Ed. Abril, maio/99, nº 122, ano XIV. FRANCHESCO, GISELE. Arqueologia Matemática - A Matemática Chinesa, Matemática Aplicada à Vida, Ed. Prandiano, maio/90, nº 02. GUERRA, ROSÂNGELA. Matemática - Manejando os Números com Engenho e Arte, Revista Nova Escola, Ed. Abril, abril/95, ano X, nº 83. BONGIOVANNI, V., VISSOTO, O., LAUREANO, J., Histórias de Matemática e Vida, Revista Matemática e Vida, Ed. Ática, 1992. IFRAH, GEOGES, Os Números. A História de Uma Grande Invenção. Ed. Globo, 1989, 3ª edição.

O QUE VOCÊ ACHA DISSO?

Muitos atribuem a forma escrita dos números através dos seus ângulos internos existentes neles. Verdade ou mito? Vamos analisar. Se você escrever o número na sua forma primitiva, verá que: O número 1 tem um ângulo. O número 2 tem dois ângulos. O número 3 tem três ângulos e assim por diante E o "O" não tem ângulo nenhum.

POESIA MATEMÁTICA

Às folhas tantas do livro Matemático. Um quociente se apaixonou um dia doidamente por uma incógnita. Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a, do Ápice à Base. Uma figura Ímpar; olhos rombóides, boca trapezóide, corpo ortogonal, seios esferóides. Fez da sua uma vida paralela a dela. Até que se encontraram no infinito "Quem és tu?" indagou ele com ânsia radical. "Sou a soma dos quadrados dos catetos mas pode me chamar de Hipotenusa."E de falarem descobriram que eram-o que, em aritmética, corresponde a almas irmãs primo- entre-si. E assim se amaram ao quadrado da velocidade da luz numa sexta potenciação traçando ao sabor do momento e da paixão retas, curvas, círculos e linhas sinoidais. Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas Euclideanas e os exegetas do Universo Finito. Romperam convenções newtonianas e pitagóricas. E, enfim, resolveram se casar constituir um lar mais que um lar, uma Perpendicular.

Convidaram os padrinhos o Poliedro e a Bissetriz. E fizeram planos, equações e diagramas para o futuro sinhando com uma felicidade Integral e diferencial. E se casaram e tiveram uma secante e três cones muito engraçadinhos. E foram felizes até aquele dia em que tudo, afinal, vira monotonia. Foi então que surgiu o Máximo Divisor Comum frequentador de Círculos Concêntricos. Viciosos. Ofereceu-lhe, a ela, uma grandeza absoluta, e reduziu-a a um Denominador Comum.Ele, Quociente, percebeu que com ela não formava mais Um Todo,Uma Unidade. Era o Triângulo, tanto chamado amoroso. Desse problema ela era a fração mais Ordinária. Mas foi então que Einstein descobriu a relatividade e tudo que era expúrio passou a ser moralidade Como, aliás, em qualquer sociedade.

TENDÊNCIAS MATEMÁTICAS

ETNOMATEMÁTICA A etnomatemática surgiu na década de 70, com base em críticas sociais acerca do ensino tradicional da matemática, como a análise das práticas matemáticas em seus diferentes contextos culturais. Mais adiante, o conceito passou a designar as diferenças culturais nas diferentes formas de conhecimento. Pode ser entendida como um programa interdisciplinar que engloba as ciências da cognição, da epistemologia, da história, da sociologia e da difusão. A palavra foi cunhada da junção dos termos techné, mátema e etno. Segundo Ubiratan D'Ambrósio o Programa Etnomatemática "tem seu omportamento alimentado pela aquisição de conhecimento, de fazer(es) e de saber(es) que lhes permitam sobreviver e transcender, através de maneiras, de modos, de técnicas, de artes (techné ou 'ticas') de explicar, de conhecer, de entender, de lidar com, de conviver com (mátema) a realidade natural e sociocultural (etno) na qual ele, homem, está inserido." Tomando o campo da matemática como exemplo, numa perspectiva etnomatemática, o ensino deste ganha contornos e estratégias específicas, peculiares ao campo perceptual dos sujeitos aos quais se dirige. A matemática vivenciada pelos meninos em situação de rua, a matemática desenvolvida em classes do ensino supletivo, a geometria na cultura indígena, são completamente distintas entre si em função do contexto cultural e social na qual estão inseridas.

MODELAGEM MATEMÁTICA

O termo modelo foi introduzido na Matemática no último Século com a descoberta das geometrias não euclidianas de Riemann e Lobachewski. Entretanto, antes disso, pode-se encontrar Modelos Matemáticos nos trabalhos que envolviam conceitos como função, números naturais, conjuntos, entre outros. Atualmente, o termo Modelo Matemático é amplamente utilizado no circuito acadêmico. A modelagem não é uma novidade deste Século, pois desde os tempos mais remotos o indivíduo procura resolver os problemas de sua existência com os recursos que o próprio meio em que vive oferece, buscando para isso conhecê-lo e compreendê-lo. A Modelagem Matemática, por sua vez, tem sido aplicada com maior intensidade nas últimas décadas; o interesse mundial em Modelagem Matemática tem sido crescente, devido principalmente, aos problemas de defesa e situações-problemas das indústrias. A modelagem oferece uma maneira de colocar a aplicabilidade da matemática em situações do cotidiano, no currículo escolar em conjunto com o tratamento formal que é predominante no modelo tradicional. Esta ligação da matemática escolar com a matemática da vida cotidiana do aluno faz um papel importante no processo de escolarização do individuo, pois da sentido ao conteúdo estudado, facilitando sua aprendizagem e tornando-a mais significativa. Em outras palavras, se considerarmos as necessidades da vida do aluno haverá uma maior garantia de um aprendizado eficaz. Contudo não podemos supervalorizar o conhecimento cotidiano deixando de lado o conhecimento escolar, neste enfoque o professor assume características diferentes, tem o papel de mediador da relação ensino aprendizagem, deve orientar o trabalho tirando dúvidas e colocando novos pontos de vista em relação ao problema tratado e outros aspectos que permitam aos alunos pensarem sobre o assunto. A modelagem redefine o papel do professor no momento em que ele perde o caráter de detentor e transmissor do saber para ser entendido como aquele que está na condução das atividades, numa posição de partícipe.

FILOSOFIA DA MATEMÁTICA A Filosofia da Matemática é algo novo para muitos professores. Essa tendência é de suma importância para o formador na área da matemática. A Filosofia da Matemática tem como objetivo construir um espaço de ampla reflexão sobre questões relativas às Ciências Matemáticas. Porém, não entendo um programa de Filosofia da Matemática "acorrentado" a conteúdos rígidos, mas antes como um conjunto de tópicos orientadores que servirão de fio condutor, de entre os quais passo a referir alguns dos que me parecem mais importantes:

Análise sobre o livro Pedagógia da Autonômia e o Professor de Matemática

“Pedagogia da Autonomia: saberes necessários à prática educativa” O livro indicado para a leitura tem tudo haver com o que foi debatido na sala, seja nos exemplos dos colegas como também nos textos abordados. Todos os educadores e, em especial, os de matemática deveriam ler esse livro. Na leitura eu constatei delineações que estão entrelaçadas a minha prática pedagógica. Nos exemplos expressos por Paulo Freire pude me identificar em várias situações. Situações essas que me levaram a refletir sobre os meus atos em sala de aula. Gosto de me colocar no lugar do aluno ao ensinar um determinado conteúdo ou aplicando uma avaliação, mas essa atitude não se deu da noite para o dia, foi um processo. E, surpreso fiquei, ao perceber que muitos dos meus colegas da pós-graduação pensam de forma inovadora. Isso mostra que o pensamento de muitos educadores de matemática está mudando, e mudando para melhor. O aluno só tem a ganhar com isso. Sinceramente quero frisar que a leitura desse livro tocou-me profundamente no que tange ao ensino-aprendizagem dos professores na sala de aula. Na condição de professor e, principalmente, na área de matemática, na qual tem sido uma das matérias que mais tem reprovado alunos. Devo buscar renovar a minha prática em sala de aula, sei que não existe uma fórmula pronta e acabada, pois a prática pedagógica é um processo contínuo e árduo, mas de grande valia para o processo de mudança e de resultados satisfatórios na educação. O mestre Paulo Freire critica em seu livro de forma contundente a atitude irresponsável de alguns professores em sala de aula e que não adianta apenas ser uma pessoa que “lançar” os conteúdos para os alunos e no final faz uma avaliação e pronto. Infelizmente alguns professores de matemática acham que pedagogia é algo que não é fundamental para a sua formação e praticam um ensino meramente mecânico baseado na repetição e memorização de fórmulas. Paulo Freire destaca que “ensinar não é transferir conhecimento”. Isso quer dizer que a postura do professor diante da classe é de alguém que está sempre aprendendo com seus alunos e ensinando ao mesmo tempo. É uma troca de experiências de vida. O ensino da matemática deve ser para a vida, para enfrentar os desafios de um mundo complexo sem lançar mão da ética e da autenticidade de cada indivíduo. O livro destaca muito a valorização dos conhecimentos prévios que os alunos transem para a escola e isso não pode ser rejeitado pelo professor. Cada pessoa sabe de alguma coisa e cada pessoa é ignorante em alguma coisa, por isso que a escola deve ser um lugar de constante aprendizado e de descobertas. Essa atitude de dá oportunidade ao aluno de construir seu próprio conhecimento não anula o papel do professor, nesse caso a função do educador é facilitar esse acesso. Tento ser um professor aberto às indagações e aos talentos que meus alunos possuem. Não é fácil pensar dessa forma diante das rejeições que muitos jovens sentem pela matemática. Tento usar a minha criatividade e a criatividade dos alunos para construir um ensino democrático e uma matemática mas humana. Agindo assim, crio possibilidades para que meus alunos não se tornem aprendizes inertes, mas, protagonistas no desenvolvimento do conhecimento de cada um. Isso, não quer dizer que o papel do professor ficará diminuído, pelo contrário, o professor será um farol sinalizando os múltiplos caminhos que o aluno pode trilhar conforme a sua percepção do que lhe é proposto. Reconheço que não sou o dono da verdade, por isso busco interagir com meus alunos para que ambos aprendam e ambos ensinem um ao outro. Devo ser um bom ouvinte as indagações e as curiosidades dos meus alunos. A maioria dos profissionais da educação e, principalmente os professores de matemática, não dá abertura para que o educando possa usar o seu lado criativo e investigativo. Isso não quer dizer que o aluno vai tomar as rédeas da aula, mas tanto o professor como os alunos ambos irão “compartilhar” experiências para que juntos possam aprender e apreender o conteúdo estudado na escola e assim, tendo um significado para a vida. Paulo Freire condena o falar bonito, o enfeitar a aula com lindas palavras, é preciso que o ensino seja coerente com a prática pedagógica. Não adianta chegar à sala e encher a cabeça dos alunos com lindas palavras cálculos mirabolantes que não tem significado para o aluno. Como educador tenho que fazer uma auto-avaliação do que planejo e do que ensino perante a minha classe. Será que o conteúdo primordial para meu aluno naquele momento? Será que a forma como ensino está sendo democraticamente? Qual o propósito de ensinar isso? É nessa linha de pensamento que eu sempre me baseio. É preciso que a forma de ensinar matemática seja mais humana e flexiva. Outro ponto que quero destacar na leitura do livro é a visão apurada que devemos dá aos erros dos alunos. Não devo condenar o erro que o aluno faz de um determinado cálculo, pois o erro também é uma forma de aprendizagem e que pode orientar tanto o professor como o aluno na busca da resolução mas adequada de uma determinada situação-problema. Todos erram e podem aprender com isso. Não quero mostrar para meu aluno uma matemática fria, iracunda e sem sentido para a vida deles. Tenho que ser consciente de que a formação do professor não é algo pronto e acabado, mas é um constante processo de aprendizagem e reaprendizagem. Nesse ponto Paulo Freire faz uma comparação entre o ser condicionado e o ser determinado, nada está completo ou nada é completo e sim, tudo está em constante modificação. Quando o professor Diogo trouxe o texto da fábula do homem que queria levar o cachorro até a acácia isso só vem confirma as palavras de Paulo Freire quando afirma que não podemos fazer com que o aluno goste de determinado conteúdo e nem forçá-lo. O ensino da matemática não deve ser autoritário e nem unilateral. Pensando no texto abordado na sala levanto o seguinte questionamento: será que só existia essa planta? Será que essa planta era importante par ao animal só porque importante para o homem? O que é ensinar nesse ponto de vista? Conforme o livro de Paulo Freire ele diz: “ensinar exige respeito aos saberes dos educando”. O ensino-aprendizagem não deve ser algo constrangedor. Deve ser prazeroso e que não agrida a individualidade de ninguém. Não posso forçar o meu aluno a gostar de matemática, mas isso não me impede de apresentar a matemática para o mesmo e informá-lo da importância dessa disciplina como instrumento facilitador para solucionar situações-problema do dia a dia. Era preciso que o homem apresentasse a planta para o cachorro e ao constatar o repudio deveria pesquisar a causa dessa rejeição. Essa é a função primordial do educador. Levantar questões e buscar soluções junto com seus alunos para construir uma educação de qualidade e democrática. Quanto tempo passou para que fórmulas e teoremas fossem compreendidos e aceitos? Será justo fazer com que meu aluno aprenda regras complexas da noite para o dia? Para isso é preciso que o professor de matemática tenha flexibilidade e use o diálogo para que o aluno não tenha aversão assim como o cachorro teve da acácia. O professor deve ser um eterno investigador. É na sala de aula que enfrentamos diretamente as questões sociais, pois lidamos todos os dias com jovens de várias classes sociais e culturas diferentes. O desejo de pesquisar e de está sempre pronto a ouvir as perguntas dos alunos fazem com que o professor seja um eterno aprendiz e essa forma de ser leva-o a buscar uma renovação no que tange o seu modo de pensar e agir. Paulo Freire diz que “Ensino porque busco, porque indaguei, porque indago e me indago. Pesquiso para constatar, constatando, intervenho, intervindo educo e me educo.” Esse pensamento deve fazer parte da alma de cada educador. No momento em que tenho desejo de descobrir e isso me deixa inquieto faz-me encorajar positivamente na busca de um ensino significante e consequentemente produzindo uma aula agradável e a cada dia constato que preciso aprender mais e mais. Esse prazer de ensinar, de aprender, de ouvir os outros e de conviver com o diferente me torna um educador mais consciente do meu papel como professor que é formar cidadãos.

Por: Prof. Clenilton Mota Brito de Souza. - Licenciatura Plena em Matemática pela UFPE e Pós-graduado em Educação Matemática pela INTA - PI.